Testy pierwiastka jednostkowego

Definicja Mówimy, że zmienna Y jest zintegrowana stopnia d, co oznaczamy: Y~I(d), jeśli sama zmienna jest niestacjonarna, lecz jej przyrosty są stacjonarne, przy czym d jest najmniejszą liczbą całkowitą, dla której

jest stacjonarne.

Niech  będą niezależnymi zmiennymi stacjonarnymi o jednakowym rozkładzie, o wartości oczekiwanej równej zeru.

Wtedy (1) byłaby zmienną zintegrowaną stopnia 1.

Jeśli jednak chcemy sprawdzić, czy pewna zmienna jest generowana przez proces postaci (1), nie możemy zastosować sposobu polegającego na oszacowaniu regresji (1) metodą najmniejszych kwadratów i zastosowaniu zwykłego testu t-Studenta. Zmienne występujące w równaniu przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej są bowiem niestacjonarne.

  • Test Dickeya-Fullera (por. Dickey i Fuller [DF1,DF2] ) jest chyba najłatwiejszym testem pierwiastka jednostkowego.
  • Hipoteza zerowa i alternatywna są sformułowane tak:

  • H0: zmienna y jest niestacjonarna wskutek występowania pierwiastka jednostkowego,

    H1: zmienna y jest stacjonarna.

  • Odpowiadają one przypadkom, gdy w równaniu (2) parametr  jest, odpowiednio, równy 1 lub mniejszy co do modułu od 1.

  • Metodą najmniejszych kwadratów należy oszacować równanie

    (3)

  • Hipoteza zerowa odpowiada przypadkowi, gdy parametr  w równaniu (3) jest równy zeru, alternatywna – gdy jest mniejszy od zera. Przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej równanie (3), w przeciwieństwie do (2), ma po lewej stronie zmienną stacjonarną.

  • Statystyka testu Dickeya-Fullera jest obliczana jako , czyli analogicznie jak statystyka t-Studenta.
  • Ma jednak inny rozkład: asymetryczny i o ujemnej wartości oczekiwanej. Nie wolno więc stosować tablic rozkładu t-Studenta!

    Tablice wartości krytycznych testu Dickeya-Fullera można znaleźć między innymi w książkach Charemzy i Deadmana CD1, CD2, a także w pracy MacKinnona JMK. Sam test i jego wartości krytyczne są oczywiście uwzględnione w pakietach ekonometrycznych (takich jak PcGive, Eviews, również w GAUSSIE).

  • Sposób przeprowadzenia testu:

    Obliczoną wartość statystyki Dickeya-Fullera porównujemy z odczytaną z tablic wartością krytyczną dla odpowiedniej liczby obserwacji i dla przyjętego poziomu istotności. Jeśli obliczona wartość jest mniejsza niż wartość krytyczna, odrzucamy hipotezę zerową na rzecz alternatywnej, oznaczającej stacjonarność badanej zmiennej. Jeśli jednak obliczona wartość statystyki DF jest większa niż wartość krytyczna, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
     



  • Test ADF - Augmented Dickey-Fuller Test

    Jeśli składnik losowy równania (3) wykazuje autokorelację, można wykorzystać dwa sposoby:

    1. wprowadzić odpowiednią korektę do wzoru na statystykę testu, na przykład taką jak w teście Phillipsa i Perrona [PP1] czyli polegającą na zastosowaniu estymacji gęstości spektralnej w celu uzyskania oceny błędów oszacowań odpornej na autokorelację i heteroskedastyczność o nieznanej postaci;
    2. uzupełnić równanie regresji o dodatkowe składniki, co powoduje eliminację autokorelacji.

    Ta druga metoda prowadzi do tzw. rozszerzonego testu Dickeya-Fullera, od nazwy angielskiej zwanego w skrócie testem ADF. Szacujemy regresję postaci

    (4)

    i obliczoną – podobnie jak poprzednio – na podstawie oceny parametru  statystykę porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic.

    (Wyniki zastosowania obu testów – ADF oraz testu Phillipsa-Perrona – są zbliżone, przykład: zob. [S2]).


  • Problemy z testowaniem niestacjonarności:
  • Krytyka testowania integracji: zob. np. DeJong i in. [DJ92] lub Hamilton [H94].
     



    Literatura

    [CD1] Charemza, W.W. i D.F. Deadman, Nowa ekonometria, PWE, Warszawa 1997.

    [CD2] Charemza, W.W. i D.F. Deadman, New Directions in Econometric Practice: General to Specific Modelling, Cointegration and Vector Autoregression, wyd. drugie rozszerzone, Edward Elgar, 1997.

    [DJ92] DeJong, D.N, J.C. Nankervis, N.E. Savin, C.H. Whiteman, Integration versus Trend Stationarity in Time Series, Econometrica, 60, 1992, str. 423–433.

    [DF1] Dickey, D.A i W.A. Fuller, Distributions of the estimators for autoregressive time series with a unit root, Journal of the American Statistical Association, 74, 1979, str. 427–431.

    [DF2] Dickey, D.A i W.A. Fuller, Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root, Econometrica, 49, 1981, str. 1057–1072.

    [E1] Enders, W., Applied Econometric Time Series, J. Wiley, New York, 1995.

    [H94] Hamilton, J.D., Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1994.

    [JMK] MacKinnon, J.G., Critical values for cointegration tests, w pracy: R.F. Engle i C.W.J. Granger (red.), Long-run Economic Relationships, Oxford University Press, Oxford.

    [M2] Mills, T.C., The Econometric Modelling of Financial Time Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

    [PE1] Perron, P., The Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis, Econometrica, 57, 1989, str. 1361–1401.

    [PE2] Perron, P., Testing for a Unit Root in a Time Series with a Changing Mean, Journal of Business and Economic Statistics, 8, 1990, str. 153–162.

    [PP1] Phillips, P.C.B. i P. Perron, Testing for a Unit Root in Time Series Regression, Biometrika, 75, 1988, str. 335–346.

    [S1] Syczewska, E.M., Analiza relacji długookresowych: estymacja i weryfikacja, Oficyna Wydawnicza SGH.

    [S2] Syczewska, E.M., Niestacjonarność nominalnego i realnego kursu wymiany dla danych sezonowych, Bank i Kredyt, 2002.